Cada lección tiene un video corto armado sobre el apunte de la cátedra, un quiz antes y después, y ejercicios del apunte y de la guía con soluciones verificadas. Cada parte cita la página de donde sale. El temario sigue el del sitio de la cátedra (Análisis Numérico).
Respondé sin mirar nada, aunque tengas que adivinar. Acá solo ves el puntaje: las respuestas aparecen recién en el quiz final, para que la comparación diga algo.
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Video
Cuando aparezca la tarjeta Pausá y pensá, pausá de verdad y respondé antes de seguir. El rótulo de la esquina indica la página del apunte; en rojo, lo que no está en el apunte.
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Ejercicios
Resolvelos en papel antes de abrir la solución. Entendiste cuando los resolvés, no cuando el video te pareció claro.
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Quiz final
Las mismas preguntas, con las opciones en otro orden. Al corregir ves las respuestas, la explicación y la página del apunte.
Antes
–
Después
–
✓
Cómo se verificó esta lección
1. Ejemplo resuelto con pasos para completar pág. 110
Ajustar y = b·eax a estos datos:
x
1
1,25
1,5
1,75
2
y
5,10
5,79
6,53
7,45
8,46
Paso 1 (resuelto). Linealizamos: ln y = ln b + a·x, o sea Y = B + A·X con Y = ln y, A = a, B = ln b.
Σd²: parábola 0,2 · exponencial 2,99 · hipérbola 0,118. Ajusta mejor la hipérbola.
Errata del apunte: en la pág. 123 la hipérbola figura como −16/(5,0667 + x), con un signo cambiado. Los valores de su propia tabla corresponden a la fórmula de arriba.
6. Modelo potencial agregado: no está en el apunte
Con los datos del ejercicio 5, ajustá y = b·xa usando ln x y ln y. Ubicalo en el ranking del ejercicio 5.
Antes de calcular: los datos crecen cada vez más rápido. ¿El potencial te parece mejor o peor candidato que la exponencial? Anotá tu predicción.
Ver solución
y ≈ 3,437·x0,895 con Σd² ≈ 13,36: el peor de los cuatro. Con exponente menor que 1, la potencia crece cada vez más despacio y no puede seguir esa curvatura.
Cuentas recalculadas
Todos los números del video y de las soluciones se recalcularon con NumPy, SciPy y SymPy.
Las ecuaciones normales de la pág. 106 se derivaron simbólicamente.
Resultados exactos del ejemplo de la pág. 107: a = 7/11, b = 6/11.
Erratas del apunte
Pág. 123: la hipérbola es −16/(x − 5,0667), no −16/(5,0667 + x).
Pág. 122: los nombres a y b están intercambiados en la exponencial. La fórmula final está bien.
Lo que no está en el apunte
La recta horizontal con Σd = 0 que ajusta mal.
Los datos del modelo potencial, que son ilustrativos.
La advertencia de que linealizar minimiza el error en ln y, no en y.
El ejercicio 6.
1. Ejemplo resuelto con pasos para completar págs. 10 y 13
X = 62,3587 en un sistema con t = 4 y B = 10.
Paso 1 (resuelto). En punto flotante normalizado: X = .623587·10², o sea e = 2.
Paso 2 (resuelto). Truncado: y = .6235·10² = 62,35, con error eY = 0,0087.
Pasos 3 y 4 (te tocan). Redondeá en forma simétrica, calculá el error eY = X − y y la cota de error absoluto del simétrico.
Explicate a vos mismo: ¿por qué el error del simétrico puede dar negativo y el del truncado nunca?
Ver solución
El primer dígito descartado es 8, así que y = .6236·10² = 62,36 y eY = 62,3587 − 62,36 = −0,0013.
Cotas con e = 2 y t = 4: truncado 102−4 = 0,01; simétrico 0,5·10−2 = 0,005 (pág. 13). El simétrico puede redondear hacia arriba y dejar el aproximado por encima del exacto.
2. Rango de una máquina pág. 9
En F(4, 10, 19, 38), ¿cuáles son el máximo y el mínimo positivos representables en punto flotante normalizado?
Ver solución
Máximo .9999·1038 · mínimo .1·10−19.
3. Overflow pág. 9
En F(4, 10, 15, 32) se representan en forma exacta A = .543·1024 y B = .8412·1017. ¿Qué pasa al calcular A·B? Justificá con el exponente.
Ver solución
A·B = 4,5677·1040 = .4568·1041. El exponente es 41 > M = 32: overflow.
4. Error absoluto y relativo pág. 11
X = 5,8926 y x = 5,893. Calculá eX y erX. ¿Por qué el error absoluto da negativo?
Ver solución
eX = −0,0004 · erX ≈ −6,79·10−5. Es negativo porque el valor exacto es menor que el aproximado.
5. Cotas pág. 12
Medís un arbusto: 1,854 m, con un error máximo de 3 mm. Escribí el intervalo donde está el valor exacto y una cota del error relativo.
El valor exacto es X = 372,45000001. Las aproximaciones son x₁ = 372,45000003 y x₂ = 372,44999999. a) ¿Cuántas cifras exactas tiene cada una? b) ¿Cuántos dígitos significativos tiene cada una, con w = 0,5? c) ¿Cuál es mejor aproximación?
¿Por qué el apunte dice que contar solo cifras exactas "comete una injusticia"?
Ver solución
a) x₁: 10 cifras exactas; x₂: 4 (3, 7, 2, 4). b) Las dos tienen 10 dígitos significativos, porque las dos están a 2·10−8 del valor exacto. c) Son igual de buenas: el mismo error absoluto.
7. Inestabilidad: predecí antes de calcular agregado: variante de la pág. 7
En el sistema x + 2y = 3, c·x + 1,001·y = 1,5, con c = 0,4995, justo a mitad de camino entre 0,499 y 0,5.
Antes de calcular: ¿la solución va a quedar a mitad de camino entre (1, 1) y (3, 0)? Anotá tu predicción.
Ver solución
La solución es (1,5 ; 0,75), no el punto medio (2 ; 0,5). La x de la solución vale 3 / (1001 − 2000c): no cambia en forma lineal con c.
8. Propagación con árboles págs. 16–18
a) Hallá el error absoluto propagado de Z = A·B − C. b) Armá el árbol y hallá el error relativo de Z = A·B + C/D.
U = (X + Y)·Z, con X, Y y Z exactos y redondeo simétrico en las operaciones. a) Reproducí la cota del apunte para F(3, 10, 30, 42). b) ¿Cuánto da en F(5, 10, 30, 42)?
Ver solución
|erU| ≤ es + em ≤ 2·0,5·10−t+1 = 10−t+1. a) Con t = 3: 0,01. b) Con t = 5: 0,0001.
Cuentas recalculadas
Redondeos, errores y cotas calculados con aritmética decimal exacta (módulo decimal de Python).
Los sistemas de la pág. 7 y las fórmulas de propagación de las págs. 16–17 se verificaron con SymPy.
E₁ y E₂ de la pág. 14: 4,15 · 4,16 (simétrico) · 4,12 (truncado). El exacto es 4,1505.
Erratas y aclaraciones del apunte
Pág. 8: ".02543·10⁵" vale 2543, sin la parte decimal; lo correcto es y = .02543401·10⁵.
Pág. 16: la fórmula del error de la división es una aproximación de primer orden. El denominador exacto es y² + y·eY.
Lo que no está en el apunte
El ejercicio 7 (c = 0,4995).
La narración de cierre y la tarjeta final.
1. Bisección con pasos para completar Guía TP 2, ej. 4
Raíz positiva de x² − 2x − 2 = 0. Como f(2) = −2 < 0 y f(3) = 1 > 0, la raíz está en (2, 3).
n
a
b
xₙ
f(xₙ)
1
2
3
2,5
−0,75
2
2,5
3
2,75
0,0625
3
2,5
2,75
2,625
−0,359
4
…
…
?
…
Te toca: seguí la tabla hasta n = 8 y calculá cuántas iteraciones alcanzan para ε = 10⁻⁶.
Explicate a vos mismo: ¿por qué en el paso 3 el nuevo intervalo es [2,625 ; 2,75] y no [2,5 ; 2,625]?
Sin calculadora, hallá cuántas raíces reales tienen y un intervalo de longitud 1 para cada una: a) eˣ + x − 4 · e) ln x + x − 2 · h) x − cos(2x).
Truco del apunte: pasá a la forma f₁(x) = f₂(x) con dos funciones fáciles de graficar y buscá los cruces.
Ver solución
a) una raíz en (1, 2) · e) una raíz en (1, 2) · h) una raíz en (0, 1).
3. Cantidad de iteraciones pág. 31 · ejemplo del sitio del profe
¿Cuántas iteraciones alcanzan para resolver x³ + 4x² − 10 = 0 en [1, 2] por bisección con ε = 10⁻⁵?
Ver solución
1/2ⁿ ≤ 10⁻⁵ ⇒ n ≥ 16,6 ⇒ 17. Es una cota: en la práctica puede alcanzar con menos.
4. Opción múltiple Guía TP 2, ej. 6
Para hallar la raíz de una f continua en (3; 5) con sg f(3) ≠ sg f(5) y ε < 10⁻⁵ por bisección: a) son necesarias 17 iteraciones · b) son suficientes 18 · c) son necesarias 18 · d) ninguna.
Ver solución
b): 2/2ⁿ ≤ 10⁻⁵ ⇒ n ≥ 17,6. La cota dice cuántas alcanzan, no cuántas hacen falta.
5. Verdadero o falso Guía TP 2, ej. 7
f tiene una raíz en (a, a+1). a) Si f tiene pendiente grande, la bisección converge más rápido. b) Después de 10 iteraciones se tiene precisión 10⁻¹⁰.
Ver solución
a) Falso: R = 1/2 siempre. b) Falso: 1/2¹⁰ ≈ 0,001.
6. ¿Encuentra una raíz? Guía TP 2, ej. 5
f(x) = 1/(3x − 1) cumple sg f(0) ≠ sg f(1). ¿Qué punto localiza la bisección? ¿Es una raíz?
Antes de calcular: ¿qué hipótesis de Bolzano falla?
Ver solución
f no es continua en x = 1/3: la bisección converge a la asíntota vertical, que no es raíz. Sin continuidad, el cambio de signo no garantiza nada.
Cuentas recalculadas
Tabla de bisección de eˣ − 4 + x (págs. 57–58), número de iteraciones (págs. 31–32) y ejercicios 4, 6 y 7 de la guía, recalculados en Python.
Raíz verificada con otro método (Brent): α = 1,0737289…
Erratas del apunte
Pág. 28: dice "√2 es 1,42421"; es 1,41421 (lo confirma la propia tabla).
Lo que no está en el apunte
Las preguntas de cierre y la función "plana" del criterio de paro, que es ilustrativa.
1. Tres pasos de Newton Guía TP 2, ej. 17
x⁵ − 2x³ − ln x = 0 con x₀ = 1, hasta asegurar 5 decimales. f′(x) = 5x⁴ − 6x² − 1/x.
¿Qué pasa si arrancás en x₀ = 1,1? Calculá x₁ antes de abrir la solución.
Desde 1,1 se obtiene x₁ ≈ −0,2514: el ln no está definido y el método se corta. Un x₀ «cercano» no alcanza si la tangente apunta fuera del dominio.
2. Con precisión 10⁻⁸ Guía TP 2, ej. 18
Hallá la mayor raíz de 1/(x − 3) − x² + 4x + 1 = 0 con ε < 10⁻⁸. Está en (4, 5).
Ver solución
Con x₀ = 4: x₁ = 4,4 · x₂ = 4,39139123750961 · x₃ = 4,39138238064021 · x₄ = 4,3913823806309. Cuatro pasos para 10⁻⁸.
3. Raíz cuadrada sin radicación Guía TP 2, ej. 29 y 30
Aplicá Newton a f(x) = x² − a y mostrá que queda xₙ₊₁ = ½ (xₙ + a/xₙ). Después calculá √3 desde x₀ = 2.
Ver solución
xₙ₊₁ = xₙ − (xₙ² − a)/(2xₙ) = ½ (xₙ + a/xₙ). Para a = 3: 1,75 · 1,7321429 · 1,7320508100 · 1,7320508076. La guía compara: bisección 23 iteraciones, Regula Falsi 7, Newton 4.
4. Una tangente casi horizontal Guía TP 2, ej. 26 y 27
Aplicá Newton a x³ − 2x² − 3x + 10 = 0 con x₀ = 1,9. ¿Por qué el primer paso se va tan lejos?
Calculá f′(1,9) antes de abrir la solución.
Ver solución
f′(1,9) = 0,23: x₀ está cerca de un mínimo relativo (x ≈ 1,8685). x₁ ≈ −15,226 y después vuelve: −9,999 · −6,557 · −4,335 · −2,977 · −2,268 · −2,028 · −2,0004 → −2.
5. ¿A qué raíz va? Guía TP 2, ej. 28
x⁴ − 7x³ + 12x² + 4x − 16 = 0 tiene raíces −1, 2 y 4. Antes de calcular, adiviná a cuál converge Newton desde x₀ = 0, 3,3, 3,35 y 3,4. Después verificá.
Ver solución
x₀ = 0 → 4 (en un solo paso) · 3,3 → 2 · 3,35 → −1 · 3,4 → 4. Cerca de un extremo relativo la tangente es casi horizontal y manda la iteración lejos: pequeñas variaciones de x₀ cambian la raíz final.
Cuentas recalculadas
Newton y Von Mises para eˣ − 4 + x (págs. 50 y 61), el ejemplo x³ − 2x − 5 (pág. 47), la raíz doble (pág. 52) y la constante K ≈ 0,3727 de la convergencia cuadrática, recalculados en Python.
Ejercicios 17, 18, 20, 26, 28 y 29–30 de la guía verificados.
Erratas del apunte
Pág. 52 (y guía, ej. 21): dice que Newton sin modificar necesita 20 iteraciones para precisión 10⁻⁹ en (x² − 2)². Recalculado desde x₀ = 1,5 hacen falta 27; con 20 el error todavía es ≈ 9·10⁻⁸. La conclusión no cambia: es mucho más lento que la fórmula modificada.
Lo que no está en el apunte
El dibujo de las tangentes arrancando en x₀ = 2, el «zoom» del primer paso desde x₀ = 1, el gráfico que compara los errores de bisección, punto fijo y Newton, y las preguntas de cierre.
1. Iterar con una g que funciona Guía TP 2, ej. 12a
Raíz de sen(x) − 2x + 1 = 0 en (0, 1). Despejando la x del término lineal: g(x) = (1 + sen x)/2, con |g′(x)| = |cos x|/2 ≤ 0,5 < 1.
Te toca: arrancá en x₀ = 1 (calculadora en radianes) y hacé tres iteraciones.
Explicate a vos mismo: ¿la convergencia es escalonada o en espiral? Mirá el signo de g′ cerca de la raíz.
Ver solución
x₁ = 0,9207355 · x₂ = 0,8980235 · x₃ = 0,8910484. La raíz es α ≈ 0,8878622.
g′(x) = cos(x)/2 es positiva en (0, 1): los valores bajan escalonados hacia α, siempre del mismo lado.
2. Elegir la g Guía TP 2, ej. 12b
Para eˣ − x² + 3x − 2 = 0, con una raíz en (0, 1), proponé una g que cumpla las condiciones y hacé tres iteraciones desde x₀ = 0.
Pista: despejá la x del término 3x y calculá g′ en el intervalo antes de iterar.
La guía aclara que con esta g solo se llega a la raíz menor; la otra raíz, en (2, 3), necesita otra g.
3. ¿A qué raíz va? Guía TP 2, ej. 14
x³ − eˣ + 3 = 0 tiene dos raíces, cerca de −1,4 y de 4,6. Con g(x) = ln(x³ + 3), ¿a cuál converge el método?
Antes de calcular: ¿qué tenés que evaluar en cada raíz?
Ver solución
g′(x) = 3x²/(x³ + 3). En 4,6: g′ ≈ 0,63 < 1, converge. En −1,4: g′ ≈ 23, se aleja. Respuesta a): la raíz cercana a 4,6 (α ≈ 4,6231).
4. Verdadero o falso Guía TP 2, ej. 13
a) Si 0 < g′(x) < 1, la convergencia es en espiral o alternada. b) Para eˣ + x⁴ − x − 2 = 0 con raíz en (0, 1) se puede usar g(x) = eˣ + x⁴ − 2.
Ver solución
a) Falso: con g′ positiva es escalonada. b) Falso: g′(x) = eˣ + 4x³ ≥ 1 en (0, 1), así que |g′| no es menor que uno.
5. Converge, pero despacio pág. 45
Para x³ = eˣ el apunte usa g(x) = e^(x/3) desde x₀ = 1. Estimá cuánto se reduce el error en cada paso.
Ver solución
g′(x) = e^(x/3)/3; en la raíz (α ≈ 1,85718) vale ≈ 0,62. El error se reduce a un 62 % por paso: más lento que la bisección. Después de 12 iteraciones x₁₂ ≈ 1,85522, todavía con error ≈ 0,002.
Cuentas recalculadas
Las tres formas de eˣ − 4 + x (págs. 60–61), sus derivadas en la raíz y los ejemplos de págs. 40, 42 y 45, recalculados en Python.
Ejercicios 12a, 12b, 13 y 14 de la guía verificados; raíces confirmadas con otro método (Brent).
Erratas del apunte
Pág. 60: en x₂ escribe e^1,28071817; el valor de x₁ es 1,28171817 (el resultado 0,39717532 sí usa el valor correcto).
Lo que no está en el apunte
La telaraña de ln(4 − x) arrancando en x₀ = 0 y las preguntas de cierre.
1. Secantes paso a paso pág. 53 · ejercicio
Raíz de x³ + 2x² + 10x − 20 = 0 con x₀ = 0, x₁ = 1 y ε < 10⁻³.
Explicate a vos mismo: ¿por qué x₂ se pasa tanto de la raíz y después vuelve?
La primera secante usa puntos lejanos (0 y 1), y la curva es convexa: la recta subestima la pendiente cerca de α. Desde ahí los puntos están cerca y la secante se parece cada vez más a la tangente.
2. Los métodos con √3 Guía TP 2, ej. 30
Calculá √3 con error menor que 10⁻⁸ usando f(x) = x² − 3 en (1, 2) por bisección, punto fijo, Regula Falsi y Newton. Sumá secantes con x₀ = 1, x₁ = 2. Compará cuántas iteraciones necesita cada uno.
Ver solución
Guía: Regula Falsi 7, Newton 4 (desde 2), punto fijo con g₁(x) = ½(x + 3/x) 4, con g₂ 13 y con g₃ 10. Secantes: 6 (x₂ = 1,6667 · 1,7273 · 1,7321429 · 1,7320507 · 1,7320508076).
Bisección: la cota (b − a)/2ⁿ < 10⁻⁸ pide 27 iteraciones; la guía dice 23. Fijate que g₁ es justo la fórmula de Newton para x² − 3: por eso las dos tardan lo mismo.
3. Elegir método Guía TP 2, ej. 24
a) Encontrá gráficamente un intervalo para la mayor raíz positiva de x² − 6x + eˣ⁻¹ = 0. b) Hallala con 3 cifras significativas. Justificá el método y el criterio de paro.
Ver solución
a) Está en (3, 4). b) Con Newton desde x₀ = 3: 3,21801754 · 3,1934332 · 3,19307409 ⇒ α ≈ 3,19. Newton conviene porque f′ = 2x − 6 + eˣ⁻¹ es fácil y no se anula en el intervalo.
4. Un problema con enunciado Guía TP 2, ej. 25
La suma de dos números es 20. Si a cada uno se le suma su raíz cuadrada, el producto de las dos sumas es 155,55. Hallá los números con exactitud 10⁻⁴.
Primero escribí una sola ecuación f(x) = 0 en la incógnita x (el otro número es 20 − x).
Ver solución
f(x) = (x + √x)(20 − x + √(20 − x)) − 155,55. Raíz en (6, 7): x ≈ 6,5128 y el otro, 13,4872. (La guía da 6,512851715; recalculado da 6,512848726: coinciden en la exactitud pedida.)
Cuentas recalculadas
Secantes para eˣ − 4 + x (pág. 53) y el ejercicio x³ + 2x² + 10x − 20, recalculados en Python.
Cantidad de pasos de la comparación (27, 16, 6 y 4) con el criterio |xₙ − xₙ₋₁| < 10⁻⁸; para bisección se usa la cota (b − a)/2ⁿ.
Ejercicios 24, 25 y 30 de la guía verificados.
Para revisar en la guía
Ej. 30: la guía dice 23 iteraciones de bisección para √3 con error < 10⁻⁸ en (1, 2); la cota da 27.
Lo que no está en el apunte
El gráfico de errores con las secantes, la tabla comparativa de los cuatro métodos, el conteo de pasos y la pregunta de cómo combinarlos.